Question

对任意实数k,若直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆x²/4+y²/m=1总有公共点，则m的取值范围

对任意实数k,若直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆x²/4+y²/m=1总有公共点，则m的取值范围是？

Answer 1

因为椭圆x²/4+y²/m=1焦点在x轴上，
所以0<m<4.
因为直线y=kx-1恒过定点(0,-1)
又直线y=kx-1与椭圆恒有公共点，
所以定点(0,-1)必在椭圆内或上，
所以0^2/4+(-1)^2/m<=1
所以m>=1
综上m的取值范围是[1,4).

Answer 2

焦点在x轴上
m<4
y=kx-1
x²/4+y²/m=1
x²/4+(kx-1)²/m=1
mx²+4k²x²-8kx+4=4m
(m+4k²)x²-8kx+4-4m=0
总有公共点
Δ>=0
64k²-4(m+4k²)*(4-4m)>=0
64k²-16m-16m²+64k²-64mk²>=0
m²-m(1+4k²)<=0
m(m-(1+4k²)<=0
m的取值范围是：0=<m<=1+4k²