Question

高等数学第二类换元积分法的疑问

1。比如要用到三角代换，根号（a^2-x^2）,这时令x=asint,t属于开区间(-pi/2,pi/2),这里为什么是取开区间啊？闭区间不行么？还是随意？
2。第二类换元积分法的定理条件中要求x=F（t）在区间J上严格单调可导，且F‘（t）不等于0，我想问既然严格单调可导了，那F’（t）肯定不等于0了，这不是废话么？
3。这里的F'（t）不等于0到底是指F’（t）不恒等于0还是说F‘（t）这个导函数在J区间上的函数值没有一个等于0？

Answer 1

1.以满足F‘（t）恒不等于0为第一要务，取闭区间时无法满足“F‘（t）恒不等于0”这个条件（就是你问的第三个问题）
2.我看到的定理条件里只要求F（t）单调可导，没有说严格单调可导，可能教材不一样。不过如果是严格可导，那么确实没必要再提F‘（t）不等于0，严格单调可导已经包含了这个意思，可能是为了强调这一点吧
3.F‘（t）这个导函数在J区间上的函数值没有一个等于0

追问

1.如果按照你说的,为什么定积分又不一样呢?书上计算∫(0到a)(a^2-x^2)^(1/2) ,(a>0),它的做法是令x=asint,则当t属于[0,pi/2]时,x属于[0,a],且t=0时,x=0;t=pi/2时,x=a, ... ( 以下省略 ),这里t怎么又可以区必区间了呢?asint的导数是acost,当t取pi/2时,导函数值不是等于0了么?
2.我后来仔细一想,严格单调可以在个别点的导数值为0的,所以F'(t)不等于0这个条件不多于?

追答

我看了一下我的高数书，真的是教材的问题，不是借口，反正我没在定积分的定理条件里发现要有F‘（t）不等于0。。。至于为什么定积分和不定积分定理条件不一样，我还真没研究过。（不过这个问题不需要太过执着，换元的时候只考虑积分上下限，这个区间端点的选取并不重要）

追问

那会不会说这里的F'（t）不等于0是指F’（t）不恒等于0?比如F(t)=x^2,F'(t)=2x,这样就叫F'(t)不等于0了?而只有F(t)=常数,F'(t)恒等于0,这样才叫F'(t)不等于0.或者还是你说的那样F‘（t）这个导函数在J区间上的函数值没有一个等于0?这个你确定么?高数学的不好,唉.

追答

F'(t)恒不等于0还是F'(t)不恒等于0的问题，我还是认同是恒不等于零，虽然实际应用时有些出入。如果真是不恒为0，那个那些开闭区间的问题就无解了，或者默认闭区间是习惯做法？

而且这个F‘（t）恒不等于0是在你要确定变量x的具体范围时才会用，一般情况下就像你所考虑的那样，是不会计较这个问题的。像你所举的例子，F'(t)=2x的时候是不会追究x必须不等于0.但是你在进行一些换元且要具体写出其区间时必须考虑这个问题。（问题是一般情况下换元是不需要写出变量区间的，这种问题真的无需多考虑）
关于严格单调的问题，我又查了一下，F‘（t）恒大于/小于0是可以判定其严格单调的，但是F‘（t）等于0也并不是说不是严格单调（像F(t)=x∧3）