Question

已知函数f(x)=(b-ax)/(x^2+1)。

（1）若函数f(x)在x=1处取得极值2，求a，b的值；
（2）当2b=a^2-1时，讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

（1）求导数得f'(x)=(ax²-2bx-a)/(x²+1)²，
由题意，f'(1)=0，得b=0，又f(1)= 2，得a= -4。
（2）当2b=a²-1时，f'(x)=(ax²-2bx-a)/(x²+1)²=[ax²-(a²-1)x-a]/(x²+1)²=[(ax+1)(x-a)]/(x²+1)²。
若a=0，则f'(x)=x/(x²+1)²，
当x>0时，f'(x)>0，当x<0时，f'(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；单调递减区间为(-∞，0)。
若a≠0，则由f'(x)=0，得x1=a，x2= -1/a，易得：
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-1/a)，(a，+∞)；单调递减区间为(-1/a，a)。
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(a，-1/a)；单调递减区间为(-∞，a)，(-1/a，+∞)。