Question

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B折纸片，

如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B折纸片，使折痕PQ⊥MN于B．（1）求证：△BEP∽△ABQ；（2）求证：BE2=AE•PE；（3）如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？

Answer 1

（1）证明：据题意得：PQ⊥AD，
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）解：△PBE和△BAE相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，
∴BE / AB =PE / BQ ∵由折叠可知BQ=PB．
∴BE / AB =PE / PB
即BE / EP =AB / PB

又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）解：点A能叠在直线EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直线EB折叠纸片，点A能叠在直线EC上．