Question

对于使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为函数的下确界,若lg a+lg b=0

则b/(1+a^2)+a/(1+b^2)的下确界为多少？
要过程和答案

Answer 1

∵lga+lgb=0
∴a>0,b>0,lg(ab)=0
∴ab=1
∴f(a)=b/(1+a²)+a/(1+b²)=(a³+1)/(a³+a)
f'(a)=[3a²(a³+a)-(3a²+1)(a³+1)]/(a³+a)²

Answer 2

此题实际上就是求f（x）的最小值；
显然a>0,b>0
因为lg a+lg b=0
所以lg a+lg b=lg（ab）=0
所以ab=1；
b/(1+a^2)+a/(1+b^2)=（1+ab）*（a+b）/(1+a^2)(1+b^2)
=2（a+b）/(1+a^2)(1+b^2)
=2（a+b）*a*a/(1+a^2)(1+b^2)*a*a
=2a(a^2+1)/(1+a^2)(a^2+1)
=2a /(1+a^2)
=2/(1/a+a)
令t=1/a + a
因为a>0，所以当a=+∞时，t取最大值，也是正无穷大

所以 原式>=2/+∞
=0
所以b/(1+a^2)+a/(1+b^2)的下确界为0；
做完啦！