Question

高等数学曲面积分问题。求大神详解

计算I=∫∫(x^2+y^2+z^2)ds,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2=2az(a＞0)
答案是8πa^4
但是我积到一半就卡住了，求大神详解%>_<%

Answer 1

Σ分为两部分Σ1:z=a+√(a^2-x^2-y^2)与Σ2:z=a-√(a^2-x^2-y^2)。
Σ1与Σ2在xoy面上的投影区域都是D:x^2+y^2≤a^2。
Σ1与Σ2上，dS=a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy。
所以I=∫∫(Σ1)(x^2+y^2+z^2)dS+∫∫(Σ2)(x^2+y^2+z^2)dS
=∫∫(D) 2a×(a+√(a^2-x^2-y^2)×a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy+∫∫(D) 2a×(a-√(a^2-x^2-y^2)×a/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=∫∫(D) 4a^3/√(a^2-x^2-y^2)dxdy
=∫(0到2π)dθ∫(0到a) 4a^3/√(a^2-ρ^2)ρdρ
=8πa^4。