Question

如图，在等腰直角三角行ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于E,交BC于F。

若AE=4，FC=3，求EF的长。

Answer 1

解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．

Answer 2

连接BD
∵⊿ABC是等腰直角三角形，D是中点
∴BD=CD=AD
∠A=∠C=∠ABD=∠CBD=45°
∠BDC=∠BDA=90°
∵DE⊥DF
∴∠EDF=∠ADB=∠BDC=90°
∴∠BDE=∠CDF,∠ADE=∠BDF
∴⊿ADE≌⊿BDF,⊿BDE≌⊿CDF﹙ASA﹚
∴AE=DF=4,DE=CF=3
∴EF=√﹙4²+3²)=5