Question

正方形ABCD中,点F在DC上,E在BC上,∠FAE=45°.求证:EF=DF+BE.

谢谢楼下各位的回答~~~~~

Answer 1

∵ABCD是正方形
∴AB=AD
∠B=∠ADC=90°
即Rt△ABE绕A旋转到AB和AD重合，得Rt△ADM
∴∠B=∠ADM=∠ADC即M、DF在同一条直线上，
AE=AM，∠BAE=∠DAM，BE-DM
∵∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°
∴∠MAF=∠DAM+∠DAF45°
∴∠MAF=∠EAF
∵AE=AM，AF=AF
∴△AMF≌△AEF(SAS)
∴EF=FM
∵MF=DM+DF=BE+DF
∴EF=BE+DF

Answer 2

证明：延长CD，使DG=BE，连接AG
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角ABE=角ADF=角BAD=角BAF+角FAE+角DAE=90度
因为角ADF+角ADG=180度
所以角ADG=90度
所以角ADG=角ABE=90度
所以三角形ADG和三角形ABE全等(SAS)
所以AG=AB
角DAG=角BAE
因为角FAE=45度
所以角DAG+角DAF=角GAF=45度
所以角GAF=角FAE=45度
因为AF=AF
所以三角形GAF和三角形FAE全等（SAS)
所以GF=EF
因为GF=DG+DF
所以EF=DF+BE

Answer 3

提示：此题用旋转构造全等解决
解：延长FB至G，使BG=DF
有：AD=AB,DF=BG,角D=角ABG
则三角形ABG全等于三角形ADF
则AF=AG,角DAF=角BAG
有：AF=AG,AE=AE,角FAE=角DAF+角EAB=角BAG+角EAG=角EAG
则：三角形EAF全等于三角形EAG
则EF=EG=BE+DF
的证

Answer 4

证明
延长EB至G，使BG=DF，连接AG

∵AD=AB,BG=DF,∠ADF=∠ABG
∴△ADF全等于△ABG
∴AF=AG，∠BAE=∠DAF
∵∠DAF﹢∠FAB=90
∴∠FAB﹢∠BAG=90
∵∠FAE=45
∴∠EAG=45
∴△AFE全等于△AEG
∴FE=EG
∴BF﹢DE=EF

Answer 5