已知a,b,c均为实数,求证a^2+b^2+c^2大于等于1/3(a+b+c)^2
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(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
a^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c时等号成立)
a^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c时等号成立)
追问
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)这什么意思？
追答
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc
a^2+b^2≥2ab....(1)
a^2+c^2≥2ac....(2)
b^2+c^2≥2bc....(3)
(1)+(2)+(3)∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c时等号成立)
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