Question

函数f(x)=x³/3-x²+ax-a函数的图像与x轴有且只有一个交点.求a的取值范围

Answer 1

三次函数f(x)的图像和x轴至少有一个交点，至多有三个交点。

三次函数f(x)的图像和x轴只有一个交点的充要条件是：
要么函数在R上没有极值（有2种情况：没有驻点或驻点唯一），
要么极大值与极小值同号（有2种情况：极大值小于0或极小值大于0）。

f'(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+(a-1)，【实际上，其判别式为 △=4(1-a)】

①当a≥1时，f'(x)≥0，f(x)在R上没有极值点（是个增函数），f(x)=0只有一个零点。

②当a＜1时，
函数有极大值f[1-√(1-a)]=(2/3)[(1-a)^(3/2)-1]＜0 ===> 0＜a＜1。
函数有极小值f[1+√(1-a)]=-(2/3)[(1-a)^(3/2)+1]不可能大于0。

【综合结论】a＞0时f(x)的图像与x轴只有一个交点。

【题外话】a=0时f(x)的图像与x轴有2个交点。a＜0时f(x)的图像与x轴有3个交点。

Answer 2

这里主要是数形结合。对原函数求导，得f'(x)=x^2-2x+a,令其等于0，解得x=1+根号(1-a)，或1-根号(1-a).有二次函数图像，可知X在1-根号（1-A)取极大值,依题意只需f[1-根号（1-a)]<0,即可，解得a<0.若不懂可追问，答题不易望采纳。。。。