Question

已知圆O:x2+y2=1，点P在直线L：2x+y-3=0上，过点P作圆O的两条切线，A.B为两切点

（1）求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标。（2）点M为直线y=x与直线L的交点，若在平面内存在定点N（不同于点M），满足：对于圆O上任意一点Q，都有QN/QM为一常数，求所有满足条件的点N的坐标（3）求向量PA*向量PB的最小值

Answer 1

：（1）由勾股定理得：|PO|2=R2+|PA|2，半径R=1，所以要求|PA|最小，就是求|PO|最短，
而|PO|最短时，OP垂直于直线2x+y-3=0，所以最短|OP|=|0+0-3|4+1=35，
所以|PA|2=|PO|2-R2=45
即|PA|最小时，|PA|=255
直线2x+y-3=0的斜率是k=-2，则PO的斜率是k'=12，所以OP方程是y=x2
将方程y=x2与直线2x+y-3=0联立，解得：x=65，故有y=35，即点P坐标是（65，35）；
（2）由直线y=x与直线l：2x+y-3=0联立，可得交点坐标M（1，1），设Q（m，n），N（x，y）
则QNQM=(x-m)2+(y-n)2(m-1)2+(n-1)2=λ（λ≠1）
∴m（2λ-2x）+n（2λ-2y）+x2+y2-3λ+1=0
∵对于圆 O上任意一点Q，都有QNQM为一常数，
∴2λ-2x=02λ-2y=0x2+y2-3λ+1=0，解得x=y=λ=12，
∴N（12，12）
（3）由题意，四点P，A，O，B共圆，当且仅当圆与直线相切时，|PA|最小，∠APB最大，PA�6�1PB取得最小值
由（1）知P坐标是（65，35）；
设A（a，b），则过A的切线方程为：ax+by=1，将（65，35）代入可得65a+35b=1，
∵a2+b2=1
∴a=10+1015，b=5-21015，或a=10-1015，b=5+21015
∴PA�6�1PB=（10+1015-65，5-21015-35）�6�1（10-1015-65，5+21015-35）=215