Question

求答案~急啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

等腰梯形ABCD中,AD‖BC,AD=2,AB=CD=4,且∠B=60°,M是CD上一动点(不与C·D重合),作MN⊥CD,交BC于N，将∠C沿MN翻折，使点C落在射线CD上的点E处，当△ANE为等腰三角形，CM的长为？

Answer 1

设AB/DQ=AP/AD=BP/AQ=k
AP/AD=x/2=k k=x/2
AB/DQ=2/DQ=k DQ=2/k=4/x
所以：y=4/x
作AE⊥BC于E
易证：AE≤AP≤AC
∴√3≤x≤2√3
现在需要证明的是，当P点在EC上移动时，是否存在满足题意的Q点
tan∠AED=AD/AE=2/√3<√3
所以∠AED<60°，所以x可以取到最小值
当P点与C点重合时，也能找到符合题意的点Q
∴√3≤x≤2√3

PS：AB/DQ=AP/AD=BP/AQ
根据这个比例，我们可以计算出确切的P、Q点的位置，所以你的条件是不是给多了？
证明如下：
设BP=m
根据余弦定理：AP²=AB²+BP²-2AB*BPcos60°=4+m²-4m/2=m²-2m+4
x=AP=√(m²-2m+4) (1) (x是关于m的函数)
BP/AQ=k=x/2
AQ=2m/x （AQ也是关于m的函数）
DQ=y=4/x （DQ也是关于m的函数）
在△ADQ中，∠AQD=60°，AQ、DQ是关于m的函数，AD=2
根据余弦定理：AD²=AQ²+DQ²-2AQ*DQ*cos60°
4=(2m/x)²+(4/x)²-2*(2m/x)(4/x)*(1/2)
解得：x²=m²-2m+4 (2)
(1)(2)式一样，所以AB/DQ=AP/AD=BP/AQ与条件∠AQD=60°重复

追答

设AB/DQ=AP/AD=BP/AQ=k
AP/AD=x/2=k k=x/2
AB/DQ=2/DQ=k DQ=2/k=4/x
所以：y=4/x
作AE⊥BC于E
易证：AE≤AP≤AC
∴√3≤x≤2√3
现在需要证明的是，当P点在EC上移动时，是否存在满足题意的Q点
tan∠AED=AD/AE=2/√3<√3
所以∠AED<60°，所以x可以取到最小值
当P点与C点重合时，也能找到符合题意的点Q
∴√3≤x≤2√3

PS：AB/DQ=AP/AD=BP/AQ
根据这个比例，我们可以计算出确切的P、Q点的位置，所以你的条件是不是给多了？
证明如下：
设BP=m
根据余弦定理：AP²=AB²+BP²-2AB*BPcos60°=4+m²-4m/2=m²-2m+4
x=AP=√(m²-2m+4) (1) (x是关于m的函数)
BP/AQ=k=x/2
AQ=2m/x （AQ也是关于m的函数）
DQ=y=4/x （DQ也是关于m的函数）
在△ADQ中，∠AQD=60°，AQ、DQ是关于m的函数，AD=2
根据余弦定理：AD²=AQ²+DQ²-2AQ*DQ*cos60°
4=(2m/x)²+(4/x)²-2*(2m/x)(4/x)*(1/2)
解得：x²=m²-2m+4 (2)
(1)(2)式一样，所以AB/DQ=AP/AD=BP/AQ与条件∠AQD=60°重复

Answer 2

过A作AG⊥BC，交BC于G，过A点作AH⊥CD，交CD的延长线于H。设MC=x
∵∠B=60° ABCD为等腰梯形 ∴∠C=60° NC=NE=2x
BG=1/2AB=2 AG=√AB²-BF²=2√3 BC=6 GN=4-2x AN ²=AG²+GN²=12+（4-2x）²
∵AD∥BC ∴∠ADH=∠C=60°
DH=1/2AD=1 AH=√3 HE=5-2x AE²=AH²+EH²=3+(5-2X)²
（1）令AN=NE时 12+（4-2x）²=（2x）² 解得x=7/4

（2）令AE=NE 3+（5-2x）²=（2x）² 解得x=7/5

（3）令AN=AE 12+（4-2x）²=3+（5-2x）² 解得x=0（不合题意）

∴当三角形ANE为等腰三角形时，CM的长为7/4或7/5.