Question

如果一个函数在某点沿任何方向的方向导数都存在，那么在该点这个函数的各个偏导数是一定存在的吗？

Answer 1

一个函数在某点沿任何方向的方向导数都存在，那么在该点这个函数的各个偏导数是一定存在的。

偏导数是在x，y轴上的方向导数，如果一个函数在某点沿任何方向的方向导数都存在，自然在x，y轴上的方向导数也存在。

对于多元函数，求导数其实也是要求一个切线的斜率，但是由于曲面上的点的切线有无数条，那么取那条切线的斜率呢，这时候就引入了偏导数的概念。

偏导数其实就是选取比较特殊的切线，求其斜率而得，以二元函数z＝f（x，y）z＝f（x，y）z＝f（x，y）为例，分为对xxx的偏导数和对yyy的偏导数。

偏导数几何意义也是切线斜率，但是由于曲面上一点的切线有无数条（实际上是个切面），偏导数选取的是垂直于各坐标轴的几条特殊切线的斜率。偏导数物理意义表示函数沿着某个坐标轴方向上的变化率。

扩展资料：

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在xOy平面内，当动点由P（x0，y0）沿不同方向变化时，函数f（x，y）的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究f（x，y）在（x0，y0）点处沿不同方向的变化率。

偏导数的表示符号为：∂，偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

参考资料：百度百科-偏导数

Answer 2

当然，
偏导数是在x，y轴上的方向导数，
如果一个函数在某点沿任何方向的方向导数都存在，
自然在x，y轴上的方向导数也存在啦！

追问

可老师说过，方向导数存在与偏导存在无关联。书上一题，像圆锥的顶角，它的方向导存在，但偏导却不存在。？？？？

追答

不好意思，是我弄错啦！
应该这样理解：方向导数是函数沿着某一特定（具体的）方向的导数；
因此，说方向导数存在就是说函数沿着某一特定方向的导数存在，但是这一特定的方向不一定就是X,Y轴方向；因此，方向导数存在，不一定有偏导数存在，但是偏导数存在，一定有方向导数存在，此时，这一特定的方向就是x轴或者y轴方向；