Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果a,b,c成等差数列,则[cosA+cosC]/[1+cosAcosC]=?

Answer 1

根据正弦定理有:a/sinA=b/sinB=c/sinC,由abc成等差数列知：sinA,sinB,sinC也成等差数列，于是有:sinA+sinC=2sinB,由三角形内角和为180°可得：
sinB=sin(180°-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,于是有：
sinA+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC,整理的:sinA(1-2cosC)=sinC(1-2cosA),两边平方:sin²A(2cosA-1)²=sin²C(1-2cosA)²,利用sin²A+cos²A=1,展开得：
(1-cos²C)(4cos²A-4cosA+1)=(1-cos²A)(4cos²C-4cosC+1),展开整理:
(cosA-cosC)(5(cosA+cosC)-4(1+cosAcosC))=0,于是有：
cosA-cosC=0或5(cosA+cosC)-4(1+cosAcosC)=0,
对于前者，此时有∠A=∠C,则ABC三角相等，即一楼说的情况，恰好为4/5
对于后者，整理以后可得(cosA+cosC)/(1+cosAcosC)=4/5

Answer 2

万能公式强解