Question

如图,已知四边形ABCD是正方形,四边形AFEC是菱形，E、F、D在一条直线上，求证AE，AF

三等分角CAD

Answer 1

 

∠EDH=45°

FH=DH=X,  AD=a, AF=√2 a

AH^2+FH^2=AF^2

( a+x)^2+x^2=(√2 a)^2

2x^2+2ax- a^2=0

x1=(√3 - 1)a / 2

x2=(- √3 a- a) / 2    舍去

 

DF=( √6 - √2 )a / 2

DE=( √6 +√2 )a / 2

 

DF*DE=a^2=AD^2

 

DF/AD= AD/DE

 

所以ΔADF∽ΔEDA

∠4=∠1

 

四边形AFEC是菱形

∠2=∠3=∠4

 

所以∠2=∠3=∠1

AE、AF把∠BAC三等分．

Answer 2

作BM⊥AC于M，FN⊥AC于N
∵四边形ACEF是菱形
∴AC//FE，AF=AC
∵E,F,B在同一直线上
∴AC//BE
∴BM=FN【平行线间的平行线段长相等】
∵四边形ABCD是正方形
∴BM=½AC
∴FN=½AF
∴∠CAF=30º【直角三角形长为斜边一半的直角边所对的角为30º】
∵AE平分∠CAF【菱形对角线平分对角】
∴∠CAE=∠EAF=15º
∵∠BAC=45º
∴∠BAF=15º
∴AE，AF三等分∠CAB