Question

高一数学。 已知等差数列{an}的前n项和胃Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13

高一数学。 已知等差数列{an}的前n项和胃Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

Answer 1

a(n)=a+(n-1)d,
s(n)=na+n(n-1)d/2.
[a(4)]^2=a(1)a(13)=[a+3d]^2=a[a+12d],
a^2 + 6ad + 9d^2 = a^2 + 12ad,
0 = 9d^2 - 6ad = 3d[3d-2a], a = 3d/2.
a(n)=3d/2 + (n-1)d.
s(n)=3nd/2 + n(n-1)d/2.

50=s(3)+s(5)=3*3d/2 + 3d + 3*5d/2 + 10d=25d, d=2.
a(n)=3+2(n-1)=2n+1.

b(n)=a(2n)=4n+1
t(n)=b(1)+b(2)+...+b(n)=2n(n+1)+n

若是
b(n)=a[2^n]=2*2^n + 1 = 4*2^(n-1)+1,
t(n)=4[2^n - 1]/(2-1) + n = 4[2^n - 1] + n = 2^(n+2) - 4 + n

Answer 2

（1）S3+S5=3a1+3d+5a1+10d=50 (等差数列和公式Sn=na1+n(n-1)d/2)
推出 8a1+13d=50 ①
a1 ,a4, a13成等比数列：(a4)^2=a1*a3
(等差数列通项公式an=a1+(n-1)d)
a4=a1+3d; a13=a1+12d
推出 3d=2a1 ②
将②带入①中，得 d=2 a1=3
∴an=3+(n-1)x2=2n+1

(2)b1=a2=5
b2=a4=9
b3=a8=17
b4=a16=33
……
可知，bn=2bn-1(n-1是下标)-1 bn-1=2(bn-2)-1 bn-2=2(bn-3)-1 ……
∴bn=2^(n-1)b1-2^(n-1)-1
Tn=b1+b2+b3+……+bn=b1+2b1-1+4b1-3+8b1-7+……+2^(n-1)b1-2^(n-1)-1
=b1+2b1+4b1+8b1+……+2^(n-1)b1-(0+1+3+7+……+2^(n-1)-1)
= -5（1-2^n）-（0+1+3+7+……+2^(n-1)-1） (前面一半是等比数列，首相为5，公比为2，等比数列和公式：Sn=b1(1-q^n)/(1-q) 后半段我不会写了%>_<%，抱歉。)