Question

已知实数x,y满足x+y－4=0，求X的平方+Y的平方的最小值

巧妙地构造向量是解题的关键，我就是在这关键上有问题，如何构造向量？

Answer 1

设a=(x,y)，b=(1,1)
则a·b=x+y=4
由|a·b|≤|a|·|b|知√(x²+y²)*√2≥4
所以√(x²+y²)≥2√2
所以x²+y²≥8
x²+y²的最小值为8.

追答

设a=(x,y)，b=(1,1)
则a·b=x+y=4
由|a·b|≤|a|·|b|知√(x²+y²)*√2≥4
所以√(x²+y²)≥2√2
所以x²+y²≥8
x²+y²的最小值为8.

也可以用平均值不等式或二次函数解或三角代换.

均值不等式：x²+y²=(x²+y²)/2+(x²+y²)/2≥(x²+y²+2xy)/2=(x+y)²/2=8.

二次函数：令y=4-x
x²+y²=x²+(4-x)²=2x²-8x+16=2(x-2)²+8≥8.

三角代换：令x²+y²=r²，r>0
设x=rcosθ，y=rsinθ
所以r(sinθ+cosθ)=4，√2rsin(θ+π/4)=4.
因为|4|=|√2rsin(θ+π/4)|≤|r|
所以r≥2√2，故r²≥8.

追问

参考答案是凭空凑出个向量进行演算的，那是怎么做到的？

追答

由x²+y²能想到向量的模，所以构造向量a=(x,y).

x+y=4和数量积有关

Answer 2

∵x+y =4
∴x²+y²+2xy = 16
∴x²+y² = 16-2xy ≥ 16-(x+y)²/2 = 16-8 =8