Question

高一数学问题，设Sn为数列{αn}的前n项和，Sn=kn^2+n，n∈N*，其中k是常数。

（1）求a1及αn（2）若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列（以上几个数据是数列哦亲），求k的值

Answer 1

解：（1）∵Sn=kn^2+n；
∴a1=S1=k+1;
S(n-1)=k(n-1)^2+n-1;
∴an=Sn-S(n-1)=2kn-k+1;
(2)∵am=2km-k+1;
a2m=4km-k+1;
a4m=8km-k+1;
对于任意的m属于N*，am，a2m，a4m成等比数列；
∴（4km-k+1）²=（2km-k+1）*（8km-k+1）；
∴16k²m²-8k(k-1)m+(k-1)²=16k²m²-10k（k-1）m+(k-1)²；
∴8k(k-1)=10k（k-1）；
∴k=0或者k=1;

Answer 2

(1)
a1=S1=k*1^2+1=k+1
Sn=kn^2+n
S(n-1)=k(n-1)^2+(n-1)
Sn-S(n-1)=an
=kn^2+n-k(n-1)^2-(n-1)
=2kn+1-k

(2)
∵对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列
∴am=2km+1-k
a2m=4km+1-k
a4m=8km+1-k
∴(a2m)^2=am*a4m
(4km+1-k)^2=(2km+1-k)(8km+1-k)
=16k^2m^2+8km(1-k)+(1-k)^2=16k^2m^2+10km(1-k)+(1-k)^2
2km(1-k)=0
∵m∈N*
∴k=0或k=1

Answer 3

当n=1时，a1=S1=k+1
当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=2kn-k+1
a1也满足此式，所以
an=2kn-k+1,n∈N*

am=2km-k+1
a2m=2k(2m)=4km-k+1
a4m=2k(4m)=8km-k+1

(a2m)^2=am*a4m
(4km-k+1)^2=(2km-k+1)(8km-k+1)
(4km-k+1)^2=(4km-k+1-2km)(4km-k+1+6km)
(4km-k+1)^2=(4km-k+1)^2+6km(4km-k+1)-2km(4km-k+1)-12k^2m^2
4km(4km-k+1)-12k^2m^2=0
16k^m^2-4k^2m+4km-12k^2m^2=0
4k^m^2-4k^2m+4km=0
k^m-k^2+k=0
k^2( m-1)+k=0
k[k(m-1)+1]=0
k=0或k(m-1)=-1
k=0或k=-1/(m-1)