Question

泰勒公式在恒等式证明中的应用

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Answer 1

例：设α>1,证明：当x>-1时成立 （1+x)^α≥1+αx,当且仅当x=0是等号成立

证： f(x)=（1+x)^α在（-1，+∞)二阶可导，且有
f(0)=1；f'(x)=α（1+x)^(α-1），f'(0)=α，以及
f"(x)=α（α-1）（1+x)^(α-2）。
于是，对f(x)应用在x=0处的带lagrange余项的Taylor公式，得到
（1+x)^α=1+αx+{α(α-1)[(1+βx)^(α-2)]x^2}/2，x>-1.
注意到上式中最后一项是非负的，且当且仅当x=0时为零。
∴（1+x)^α≥1+αx,x>-1,
且当且仅当x=0时成立

例2：设f(x)在[0,1]是具有二阶导数，且[0,1]上成立|f(x)|≤A,
|f"(x)|≤B,证明：
|f'(x)|≤2A+B/2,x∈[0,1]
证：对于任意c∈[0,1]，f(x)在x=c处的带lagrange余项的Taylor公式为
f(x)=f(c)+f’(c)（x-c)+[f"(β)（x-c)^2]/2,x∈[0,1]
其中β在c与x之间，∴β∈[0,1].
特别的，f(0)=f(c)+f’(c)(0-c)+[f"(β1)（0-c)^2]/2,
f(1)=f(c)+f’(c)（1-c)+[f"(β2)（1-c)^2]/2
其中β1，β2∈[0,1].
将以上两式相减得
f’(c)=f(1)-f(0)-[f"(β2)（1-c)^2-f"(β1)（0-c)^2]
,于是由已知条件得
|f’(c)|≤|f(1)|+|f(0)|+[|f"(β2)|（1-c)^2+|f"(β1)|（0-c)^2]
≤2A+B[(1-c)^2+c^2].
注意到在[0,1]上成立（1-x)^2+x^2≤1
∴|f'(c)|≤2A+B/2
在由c在[0,1]的任意性，既得结论