Question

已知数列{an},{bn}满足:a1=3,当n>=2时,a(n-1)+an=4n;对于任意的正整数n,b1+2b2+…+2^(n-1)bn=nan.设{bn

已知数列{an},{bn}满足:a1=3,当n>=2时,a(n-1)+an=4n;对于任意的正整数n,b1+2b2+…+2^(n-1)bn=nan.设{bn}的前n项和为Sn。
（1）计算a2,a3,并求数列{an}的通项公式；（2）求满足13<Sn<14的n的集合。

Answer 1

(1) 由a1+a2=8,得a2=8-a1=8-3=5,
同理 a2+a3=12,a3=12-5=7
（还可用数学归纳法）由 an+a(n-1)=4n,a(n-1)+a(n-2)=4(n-1) 得an-a(n-2)=4
于是 当n为奇数时， an-a(n-2)=4
a(n-2)-a(n-4)=4
............
a3-a1=4
累加的 an=2n+1 若n为偶数 也可证明 an=2n+1
综上所述 an=2n+1
(2)b1+2b2+.....2^(n-1)bn=n*(2n+1)
则 b1+2b2+......2^(n-2)b(n-1)=(n-1)(2(n-1)+1)
两式相减得 2^(n-1)bn=4n-1 则bn=4n-1/2^(n-1)
于是 Sn=b1+b2+....bn=3+7/2+....+4n-1/2^(n-1)
1/2Sn=3/2+7/4+.....+4n-1/2^n
两式相减得 1/2Sn=7-(4n+7)/2^n
Sn=14-(4n+7)/2^(n-1) 所以13<Sn<14可转化为 (4n+7)/2^(n-1)<1
显然当 n>=6时 上述不等式成立
故原不等式得解集为 n>=6