Question

已知函数f(x)=1+ln(x+1)/x求函数的单调区间

Answer 1

解：
f(x)=[1+ln(x+1)]/x
先求出定义域：
由ln(x+1)得x+1＞0得x＞-1
x为分母故不等于0
定义域为x＞-1且x≠0
求导，得
f'(x)=-1/x²+[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=[-1+x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²
（1）当x＞0时：
1/（x+1）＞0，ln（x+1)＞0，x²＞0，
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²＜0
即，x＞0时，f’（x）＜0
所以f（x）的在（0，+∞）上单调递减。
（2）当-1<x<0时：
1/（x+1）＞0，ln（x+1)<0，x²＞0，
于是
1/（x+1）>- ln（x+1)
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²＜0
即，-1<x<0时，f’（x）＜0
所以f（x）的在（-1，0）上单调递减。
综上，f（x）的在（-1，0）U（0，+∞）上单调递减。