已知函数f(x)=1+ln(x+1)/x求函数的单调区间 5
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wangcai3882
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识,尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖,期望能为你答疑
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解:
f(x)=[1+ln(x+1)]/x
先求出定义域:
由ln(x+1)得x+1>0得x>-1
x为分母故不等于0
定义域为x>-1且x≠0
求导,得
f'(x)=-1/x²+[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=[-1+x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²
(1)当x>0时:
1/(x+1)>0,ln(x+1)>0,x²>0,
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²<0
即,x>0时,f’(x)<0
所以f(x)的在(0,+∞)上单调递减。
(2)当-1<x<0时:
1/(x+1)>0,ln(x+1)<0,x²>0,
于是
1/(x+1)>- ln(x+1)
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²<0
即,-1<x<0时,f’(x)<0
所以f(x)的在(-1,0)上单调递减。
综上,f(x)的在(-1,0)U(0,+∞)上单调递减。
f(x)=[1+ln(x+1)]/x
先求出定义域:
由ln(x+1)得x+1>0得x>-1
x为分母故不等于0
定义域为x>-1且x≠0
求导,得
f'(x)=-1/x²+[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=[-1+x/(x+1)-ln(x+1)]/x²
=-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²
(1)当x>0时:
1/(x+1)>0,ln(x+1)>0,x²>0,
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²<0
即,x>0时,f’(x)<0
所以f(x)的在(0,+∞)上单调递减。
(2)当-1<x<0时:
1/(x+1)>0,ln(x+1)<0,x²>0,
于是
1/(x+1)>- ln(x+1)
从而-[1/(x+1)+ln(x+1)]/x²<0
即,-1<x<0时,f’(x)<0
所以f(x)的在(-1,0)上单调递减。
综上,f(x)的在(-1,0)U(0,+∞)上单调递减。
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