Question

数学问题紧急求助

某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则如下：1、按“单打、双打，单打”顺序进行三盘比赛；2、代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加者两盘单打比赛，假设每盘比赛马中高一、高二获胜的概率分别为3/7，4/7。
（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？
（2）高一年级代表队至少胜两盘的概率是多少？
（3）若单打获胜得2分，双打获用得两3分，求高一年级得分ξ的分布列和期望。

Answer 1

(1)第一场单打有3种选择，由于一个人不能打两场单打，所以第二场单打有2种选择，由于每个人都得参加比赛，所以双打中的一个人为没有参加单打的那名选手，两外一名双打选手的选择有2种，所以共有3×2×2=12种不同的出场阵容。
(2)高一年级胜两盘的概率为3×（3/7）×（3/7）×（4/7）=108/343;
高一年级胜三盘的概率为（3/7）×（3/7）×（3/7）=27/343;
所以高一年级代表队至少胜两盘的概率是108/343+27/343=135/343。
（3）高一年级双打输单打也全输的概率为（4/7）×（4/7）×（4/7）=64/343；ξ=0;
高一年级双打输单打胜一场的概率为2×（3/7）×（4/7）×（4/7）=96/343；ξ=2;
高一年级双打输单打胜两场的概率为（3/7）×（3/7）×（4/7）=36/343；ξ=4;
高一年级双打胜单打全输的概率为（3/7）×（4/7）×（4/7）=48/343；ξ=3;
高一年级双打胜单打胜一场的概率为2×（3/7）×（3/7）×（4/7）=72/343；ξ=5;
高一年级双打胜单打胜两场的概率为（3/7）×（3/7）×（3/7）=27/343；ξ=7;
所以高一年级得分ξ的分布列为：
ξ 0 2 3 4 5 7
P 64/343 96/343 48/343 36/343 72/343 27/343
Eξ=0×64/343+2×96/343+3×48/343+4×36/343+5×72/343+7×27/343
=1029/343
=3