Question

如图1，己知，抛物线y=1/2X2+bX+C与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直

如图1，己知，抛物线y=1/2X2+bX+C与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=1/2X-2，连结AC

Answer 1

　　解：（1）令x=0，y=-2，
当y=0代入y=12x-2得出：x=4，
故B，C的坐标分别为：
B（4，0），C（0，-2）．（2分）
y=12x2-32x-2．（4分）

（2）△ABC是直角三角形．（5分）
证明：令y=0，则12x2-32x-2=0．
∴x1=-1，x2=4．
∴A（-1，0）．（6分）
解法一：∵AB=5，AC=5，BC=25．（7分）
∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．
∴△ABC是直角三角形．（8分）
解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
∴COBO=AOOC=12
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．（7分）
∴∠ACO=∠CBO．
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90度．
即∠ACB=90度．
∴△ABC是直角三角形．（8分）

（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB．
∴GFAB=CHCO．（9分）
解法一：设GF=x，则DE=x，
CH=25x，DG=OH=OC-CH=2-25x．
∴S矩形DEFG=x•（2-25x）=-25x2+2x=-25（x-52）2+52．（10分）
当x=52时，S最大．
∴DE=52，DG=1．
∵△ADG∽△AOC，
∴ADAO=DGOC，
∴AD=12，
∴OD=12，OE=2．
∴D（-12，0），E（2，0）．（11分）
解法二：设DG=x，则DE=GF=10-5x2．
∴S矩形DEFG=x•10-5x2=-52x2+5x=-52（x-1）2+52．（10分）
∴当x=1时，S最大．
∴DG=1，DE=52．
∵△ADG∽△AOC，
∴ADAO=DGOC，
∴AD=12，
∴OD=12，OE=2．
∴D（-12，0），E（2，0）．（11分）
②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
∵DG∥BC，
∴△AGD∽△ACB．
∴GDBC=AGAF．
解法一：设GD=x，
∴AC=5，BC=25，
∴GF=AC-AG=5-x2．
∴S矩形DEFG=x•（5-x2）=-12x2+5x
=-12（x-5）2+52．（12分）
当x=5时，S最大．∴GD=5，AG=52，
∴AD=AG2+GD2=52．
∴OD=32∴D（32，0）（13分）
解法二：设DE=x，
∵AC=5，BC=25，
∴GC=x，AG=5-x．
∴GD=25-2x．
∴S矩形DEFG=x•（25-2x）=-2x2+25x=-2（x-52）2+52（12分）
∴当x=52时，S最大，
∴GD=5，AG=52．
∴AD=AG2+GD2=52．
∴OD=32
∴D（32，0）（13分）
综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-12，0），（2，0）
当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（32，0）．（14分）