Question

设函数f(x)=x^3+ax^2-a^2x+1,g(x)=ax^2-2x+1在区间（a，a+2）内均为增函数，求实数a的范围。（a不等于0）

Answer 1

求导f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)当a/3 >-a，a>0，f(x)的增区间：(负无穷大，-a)，(a/3，正无穷大)因为在区间（a，a+2）内均为增函数所以，a>=a/3，a>=0，满足条件或者a+2<=-a，a<=-1，不满足条件所以，a>o当a/3<-a，a<0，f(x)的增区间：(负无穷大，a/3)，(-a，正无穷大)因为在区间（a，a+2）内均为增函数所以，a>=-a，a>=0，不满足条件或者a+2<=a/3，a<=-2，满足条件所以，a<= -2g(x)=a(x-1/a)^2+1-1/a^2当a>0，g(x)的增区间：(1/a，正无穷大)因为在区间（a，a+2）内均为增函数所以，a>=1/a，a>=1或者a<=-1所以，a>=1当a<0，g(x)的增区间：（负无穷大，1/a）因为在区间（a，a+2）内均为增函数所以，a+2<=1/a，-√2-1<=a<=√2-1所以，-√2-1<=a<0综上所述，a>=1，-√2-1<=a<=-2

Answer 2

要使F(X) G(X)在（A , A|+2）为增函数 则F(X) * G(X)*在（A , A|+2）大于0恒成立所以 F(X)*=3X^2+2AX-A^2>0 ———— （1） G(X)*=2AX-2>0 ————（2）要使（1）恒成立 则 （2A）^2-4*3*(-A^2)>0 恒成立 在（A , A+2）有两根 分析两根在区间的情况（主要分析两根与函数对称轴分布情况 两根在对称轴左 右 两边三种情况）要使（2）恒成立 则 1”当A>0 G(A)*>0 2"当A<O G(A+2)*>0然后取并即刻