Question

Q如图,在三角形ABC中 角ABC=45°CD垂直AB,BE垂直AC，垂足分别是D,E.F为BC中点，BE于DF,DC分别交于点G,H

(1)求证BH=AC
（2）求证BG的平方-GE的平方=CE的平方

Answer 1

证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中
∠BDH=∠CDA BD=CD ∠HBD=∠ACD ，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC．
（2）连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE和△CBE中
∵ ∠AEB=∠CEB BE=BE ∠CBE=∠ABE ，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG的平方-GE的平方=EA的平方

Answer 2

∵CD⊥AB即∠BDC=90°
∠ABC=∠DBC=45°
∴△BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD
∵BE⊥AC即∠HEC=∠HDB
∠BHD=∠CHE(对顶角）
∴△BHD∽△CHE
∴∠DBH=∠HCE=∠DCA
∴Rt△BDH≌Rt△DCA(ASA)
∴BH=AC
2、连接CG，
∵F为BC的中点，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：
CG²-GE²=CE²
BG²-GE²=EA²=CE²

Answer 3

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