Question

化简1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013

Answer 1

解当x=-1时1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
=1+（-1）+x（（-1）+1）+x（（-1）+1）^2+x（（-1）+1）^3+…+x（（-1）+1）^2013
=0
当x≠0时
1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
=（1+x）+x[(x+1)+(x+1)^2+(x+1)^3+...........+(x+1)^2013]
=（1+x）+x[（x+1）（1-（x+1）^2013）/1-(x+1)]
=（1+x）+x[（x+1）（1-（x+1）^2013）/(-x)]
=（1+x）-[（x+1）（1-（x+1）^2013）]
=（1+x）-（x+1）（1-（x+1）^2013）
=（1+x）[1-（1-（x+1）^2013）]
=（1+x）[1-1+（x+1）^2013）]
=（1+x）（x+1）^2013

Answer 2

令S=1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
则（x+1)S=（x+1）^2+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2014
(x+1)S-S=-1-x-x(x+1)+(x+1)^2+x（x+1）^2014
xS=-1-x-x^2+x+x^2+2x+1+x（x+1）^2014
=2x+x（x+1）^2014
S=2+（x+1）^2014

Answer 3

设x+1=a
公式=(a-1)(a+a^2+……+a^2013)=(a-1)[(1-a^2014)/(1-a)]=x[(x+1)^2014/x]=(x+1)^2014

Answer 4

1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
=1+x+x（x+1）+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
=1+x（x+1）^0+x（x+1）^1+x（x+1）^2+x（x+1）^3+…+x（x+1）^2013
=1+x(1-(x+1)^2014)/(1-(1+x))
=1-x(1-(x+1)^2014)/x
=1-(1-(x+1)^2014)
=(x+1)^2014