Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12AD，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

你好，题目中的条件应该是BC=1/2AD吧，不然图形就失真了。。。
1、证明：∵AD⊥侧面PAB∴AD⊥PE
又由△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点 得AB⊥PE
而AB∩AD=A, AB、AD∈平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD ∴PE⊥CD
2、体积V=1/3S*H=1/3*（1+2）*2/2*（3)^(1/2）=3^(1/2)
3、∵PE⊥平面ABCD PE∈平面PED ∴平面PED⊥平面ABCD
过C作CF⊥ED于F，连接PF
由已知可以证明CF⊥平面PED CF⊥PF 即∠CPF为PC与平面PDE所成角
∴sin∠CPF=CF/PC 注意到PC=CD=5^(1/2) 故△CPF与△CDF是全等的
即∠CPF＝∠CDF 这就转化成在梯形内求解
设∠CDF=θ，∠ADF=β,∠CDA=α 即θ=α-β，
sinθ=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=2/5^(1/2)*2/5^(1/2)-1/5^(1/2)*1/5^(1/2)=3/5

Answer 2

PE垂直AB，PE垂直AD,所以PE垂直平面ABCD,所以，PE垂直CD.
ABCD面积为3，PE为根号3，所以体积为：根号3.
PC的值为根号5，C点做CE垂线交CE于F，则CF垂直平面PED，所以PFC为直角三角形，所以正玄值为