Question

已知,如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,B

已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）求△ABC的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．

Answer 1

答案示例：

解：AP=BQ=t BP=AB-AP=3-t
1、P、Q开始移动，∠BPQ从0逐渐增加 当∠BPQ=30或90度时是直角三角形
若∠BPQ=90度， BP：BQ=1：2 即2（3-t）=t t=2
若∠BPQ=30度，BP：BQ=2：1 即2t=3-t t=1
2、由三角形面积公司S=1/2ab sinC
S△PBQ=1/2BP.BQ.sin∠BPQ=1/2t(3-t).√3/2
=3√3/4.t - √3/4.t^ ^是平方的意思
t取值范围[0，3]
y=S△ABC-S△PBQ=3√3/4-3√3/4.t +√3/4.t^ = √3/4（t^-3.t +3）
y = √3/4（t^-3.t +3）
要使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，则√3/4（t^-3.t +3）=2√3/4
t^-3.t +1=0 t取值范围[0，3]
解得t=（3-√5）/2 所以存在
3、S△PBQ=1/2PQ.BQ.sin∠PQB=1/4.t.x
y=3√3/4 - 1/4.t.x

希望我的回答对你的学习有帮助，谢谢采纳！！

Answer 2

我们这次月考居然考这个.
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．
即t＝ (3－t )，t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．3－t＝ t，t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝ ，
∴PM＝PB•sin∠B＝ (3－t )．∴S△PBQ＝ BQ•PM＝ • t • (3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ＝ ×32× － • t • (3－t )＝ ．
∴y与t的关系式为： y＝ ．
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则S四边形APQC＝ S△ABC ．∴ ＝ × ×32× ．
∴t 2－3 t＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0，∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
⑶ 在Rt△PQM中，MQ＝ ＝ ．
MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x2＝[ (1－t ) ]2＋[ (3－t ) ]2
＝ ＝ ＝3t2－9t＋9．
∴t2－3t＝ ．∵y＝ ，
∴y＝ ＝ ＝ ．
∴y与x的关系式为：y＝ ．