Question

如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．

Answer 1

（1）（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=
CD^2+DE^2
=根号22+12
=根号5
，
同理BE=2根号5 ，
∴CE^2+BE^2=5+20=25，
∵BC^2=52=25，

∴BE^2+CE^2=BC^2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
（2）EFPH是矩形
BE^2=AE^2+AB^2=4^2+2^2=20
CE^2=DE^2+DC^2=1^2+2^2=5
BC^2=5^2=25=BE^2+CE^2
即∠BEC=90°为直角
同理∠APD=90°为直角
易证EFPH是平行四边形
则EFPH是矩形
（3）
设∠EBC=∠PDA=∠AEB=∠CPD=a
则HP=sin a, HE=4cos a, PD=5cos a,
由余弦定理PD^2+PC^2-2PD*PC*cos a=CD^2
即25cos a^2+16-2*5cos a*4*cos a=4
cos a^2=4/5则sin a^2=1/5
则S(HPFE)=4sin a*cos a=8/5