Question

修改后的题目，求解！会解答的分全给！（需要最简洁巧妙的解法来）

Answer 1

（1）∵△ABC为等边△，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵L、R为弧PP'、弧PP''的中点，∴∠ADE=60°，∠BFE=60°，则CD∥EF，DE∥CF，四边形CDEF为平行四边形；当P运动到AB中点时，CD=CF，DE=FE，此时平行四边形CDEF四边相等为菱形。
动点Q延CE运动2个单位，CQ=2，∠BCQ=30°，在△BCQ中由余弦定理得：BQ²=CQ²+BC²-2CQ*BC*cos∠BCQ，BQ²=4+36-12√3>39-12√3=(6-√3)²，BQ>6-√3>3，以Q为圆心与弧PP'和弧PP''相切的圆存在，圆Q的半径=√(40-12√3)-3。
（2）∵AD=AP/sin60°=(6-BP)/sin60°，CF=6-BF=6-BP/sin60°，∴AD/CF=3/2=(6-BP)/(6sin60°-BP)，BP=9√3-12，CF=6-(18-8√3)=8√3-12，∵DE=CF，∴BP/DE=BP/CF=(9√3-12)/(8√3-12)=(6+√3)/4。
（3）Y=[6-(6-x)/sin60°](6-x/sin60°)sin60°=[36-6x/sin60°-6(6-x)/sin60°+x(6-x)/sin²60°]sin60°=36sin60°-36+x(6-x)/sin60°=36sin60°-36+9/sin60°-(3-x)²/sin60°，当x=3时，Y有最大值，Y=36sin60°-36+9/sin60°=24√3-36。

Answer 2

解：①平行四边形。证明如下：
连接AL，BR，则 AL⊥DE，BR⊥EF ∠ALD=∠BRF=90°
由 L,R分别是弧PP',弧PP''的中点，得 ∠LAC=∠BAC/2，∠RBC=∠ABC/2
在等边△ABC中，∠BAC=∠ABC=∠C=60°，得 ∠ADL=∠C=∠BER
∴ DE//CF，EF//CD(同位角相等，两直线平行) ∴ 四边形CDEF为平行四边形
P运动到AB中点时，AP=BP，则 AL=BR ∴ Rt△ALD≌Rt△BRF ∴ AD=BF
∴ CD=CF 故 四边形CDEF为菱形
圆Q与PP',PP''相切，得 Q到PP',PP''的距离都等于圆Q的半径，即Q在∠P'PP''的平分线上
②由∠LAC=∠RBC=30°，∠ALD=∠BRF=90°，得 Rt△ALD∽Rt△BRF
则 AD/BF=AL/BR=AP/BP 由AD/CF=3/2，BF+CF=6，BP=x，得 x=9√3-12
BP/DE=x/CF=(√3+6)/4
③BP=x，AP=6-x，AD=AP/sin60°，BF=BP/sin60°，CD=AC-AD，CF=BC-BF
Y=CD*CF*sinC