Question

如图，在△ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,∠DCE=90°,DC=CE.求证：BD⊥AE

Answer 1

设AC和BE交于O
∵∠BCA=90°,∠DCE=90°
∴∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE=90°
即∠BCD=∠ACE
∵BC=AC，DC=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴∠EAC=∠DBC即∠EAO=∠CBO
∵∠BOC=∠AOE
∴△BCO∽△AEO
∴∠AEO=∠AEB=∠BCO=∠BCA=90°
∴BE⊥AE
即BD⊥AE

追问

老师提示说要延长BD交AE于点F

追答

延长BD交AC于O，交AE于F
∵∠BCA=90°,∠DCE=90°
∴∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE=90°
即∠BCD=∠ACE
∵BC=AC，DC=CE
∴△BCD≌△ACE(SAS)
∴∠EAC=∠DBC即∠FAO=∠CBO
∵∠BOC=∠AOF
∴△BCO∽△AFO
∴∠AFO=∠AFB=∠BCO=∠BCA=90°
∴BF⊥AE
即BD⊥AE