Question

已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形，角ABC=120°，PC垂直平面ABCD，PC=a，E为PA的中点。（1）求证：平

已知四棱锥P-ABCD的底面边长为a的菱形，角ABC=120°，PC垂直平面ABCD，PC=a，E为PA的中点。（1）求证：平面EBD垂直平面ABCD（2）求二面角A-BE-D的大小（请用空间向量求解）

Answer 1

1.证明：

连接AC，BD交于O，连接EO

∵ABCD为菱形

∴O是AC中点

∵E是PA中点

∴OE||PC

∵PC垂直平面ABCD

∴OE⊥平面ABCD

∴平面EBD垂直平面ABCD

2.过C作CF⊥AB延长线于F

∴CF⊥CD

建立以C为原点，CF为x轴，CD为y轴，CP为z轴的空间直角坐标系

∵∠ABC=120°

∴∠CBF=60°

∴BF=1/2a

∴B(√3/2a,1/2a,0) A(√3/2a,3/2a,0) E(√3/4a,3/4a,1/2a) D(0,a,0)

向量BE=（-√3/4a,1/4a,1/2a)

向量BD=（-√3/2a,1/2a,0)

向量BA=（0,a,0)

设向量m,n分别是平面ABE和BED的法向量

m·BE=0                n·BE=0

m·BA=0                n·BD=0

不妨设m=(a,0,√3/2a),n=(a,√3a,0)

cos<m,n>=a^2/√7a^2=√7/7

二面角A-BE-D=arccos√7/7