Question

已知函数f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 (1)已知f(x)<0对于任意x∈[1,3]成立,求a的取值范围

(2)已知方程f(x)=0有两个小于1的实根,求a的取值范围
(3)解关于x的不等式f(x)＜2x

Answer 1

解：（1）
①当a=2时，f（x）=-4＜0，满足题设。
②当a＞2时，f(x)=(a-2)x²+2(a-2)x-4的对称轴x=-1。
而f(x)<0对于任意x∈[1,3]成立。f（x）在[1,3]单调递增。
只需要f（3）＜0即可。
f（3）=3（a-2）-4＜0 得a＜10/3，
所以2＜a＜10/3,.
③当a＜2时，f(x)=(a-2)x²+2(a-2)x-4的对称轴x=-1。
而f(x)<0对于任意x∈[1,3]成立。f（x）在[1,3]单调递减。
只需要f（1）＜0即可。
f（1）=3（a-2）-4＜0 得a＜10/3，
所以a＜2.
由①②③可知，a的取值（-∞，10/3）
（2）由区间根的分布：（a-2）f（1）＞0
【理由：如果开口向上，a-2＞0，f（1）必然大于0；如果开口向下，a-2＜0，f（1）必然小于0】
（a-2）[3（a-2）-4]＞0 得到a＞10/3或则a＜2
即有a的取值（-∞，2）∪（10/3，+∞）
（3）f(x)＜2x，即(a-2)x2+2(a-2)x-4＜2x
令g（x）=(a-2)x2+2(a-2)x-4-2x=(a-2)x2+2(a-3)x-4
要使f(x)＜2x，即使g（x）=（a-2)x2+2(a-3)x-4＜0
①开口向上，a-2＞0，最小值【顶点处】小于0即可。
-16（a-2）-4（a-3）²＜0 得a²-2a-1＞0 即（a-2）*（a+1）＞0，所以a＞2或a＜-1
综上所得a＞2.
②开口向下，a-2＜0，最大值【顶点处】小于0即可。
-16（a-2）-4（a-3）²＞0 得a²-2a-1＜0 即（a-2）*（a+1）＜0，所以-1＜a＜2
综上所得-1＜a＜2
由①②可得a的取值范围（-1,2）∪（2，+∞）.