Question

求幂级数[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n的收敛域与和函数，并求[∞∑n=1] (2n-1)/2^n的和。

Answer 1

S=[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n
积分得： [∞∑n=1] [x^(2n-1)]/2^n
=(1/x) [∞∑n=1] [x^2/2]^n=(1/x)(x^2/2)/(1-x^2/2)=x/(2-x^2) |x^2/2|<1或|x|<√2
微分得：S=[x/(2-x^2)]'=(2+x^2)/(2-x^2)^2 |x|<√2
令x=1：[∞∑n=1] (2n-1)/2^n=3

追问

为什么要令x=1呢？谢谢。

追答

[∞∑n=1] [(2n-1)*x^(2n-2)]/2^n令x=1,刚好就是：[∞∑n=1] (2n-1)/2^n

Answer 2

收敛域R即lim：n->无穷大{(2n加1)x^[2n/2^(n加1)}/{(2n-1)x^[(2n-2)/2^n]}<1；

追问

可以写一下具体过程吗？我是真的不会这种题，谢谢，还有和函数，以及后面的求和。感激不尽。。。