Question

设函数f(x)=x+ 的图象为C 1 ，C 1 关于点A(2，1)对称的图象为C 2 ，C 2 对应

设函数f(x)=x+ 的图象为C 1 ，C 1 关于点A(2，1)对称的图象为C 2 ，C 2 对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的解析表达式；
(2)若直线y=b与C 2 只有一个交点， 求b的值，并求出交点坐标；
(3)解不等式log a g(x)<log a（9/2） (0<a<1).

Answer 1

(1)

C1: f(x)=x+1/x    (你没输全）

C2与C1关于点A(2,1)对称

设P(x,y)为曲线C2上任意一点，

那么P关于A(2,1)的对称点P'(x',y')在C1上，

P'满足C1的解析式,y'=x'+1/x'  (#)

A是线段PP'的中点，x+x'=4,y+y'=2

x'=4-x,y'=2-y代入(#)式

 2-y=4-x+1/(4-x)

即y=x-2+/(x-4)

即g(x)=x-2+1/(x-4)

 

(2)

 

g(x)=(x-4)+1/(x-4)+2

当x>4时，(x-4)+1/(x-4)≥2√[(x-4)*1/(x-4)]=2

    当且仅当x-4=1/(x-4),x=5时取等号

 ∴x=5时，y取得最小值4

且g(x)在(4,5)上递减，（5，+∞）递增

x<4时，(4-x)+1/(4-x)≥2√[(4-x)*1/(4-x)]=2

   当且仅当4-x=1/(4-x),4-x=1,x=3时取等号

∴(x-4)+1/(x-4)≤-2 ,y≤0

 即x=3时，y取得最大值0

且g(x)在(3，4)上递减，（-∞，3）递增

直线y=b与C 2 只有一个交点

∴b=0或4

 

 （3）

log a g(x)<log a（9/2）(*)

需 g(x)>0 即x-2+1/(x-4)>0解得x>4

 x>4时，

∵0<a<1

∴(*)化为g(x)>9/2

即x-2+1/(x-4)>9/2

  (x-2)(x-4)+1>9/2(x-4)

2(x²-6x+8)+2>9x-36

  2x²-21x+54>0

 (2x-9)(x-6)>0

解得：4<x<9/2或x>6

即不等式解集为(4,9/2)U(6,+∞)