Question

设an是公差不为0的等差数列，sn是其前n项和，已知s1与(1/7)S7的等比中项为(1/3)

设an是公差不为0的等差数列，sn是其前n项和，已知s1与(1/7)S7的等比中项为(1/3)S3,且S1与(1/3)S3的等差中项是3，⑴求数列an的通项公式⑵求等比数列bn,满足b1=S1,b2=(1/3)S3,求和Tn=a1b1+a2b2+…anbn

Answer 1

设{a‹n›}是公差不为0的等差数列，S‹n›是其前n项和，已知S₁与(1/7)S₇的等比中项为(1/3)S₃，且S₁与(1/3)S₃的等差中项是3；⑴求数列{a‹n›}的通项公式；⑵求等比数列{b‹n›}，满足b₁=S₁，b₂=(1/3)S3,求和T‹n›=a₁b₁+a₂b₂+…a‹n›b‹n›
解：(1)。S₁=a₁；S₇=7a₁+21d，故(1/7)S₇=a₁+3d；S₃=3a₁+3d，故(1/3)S₃=a₁+d；
已知S₁与(1/7)S₇的等比中项为(1/3)S₃，故有等式：
(a₁+d)²=a₁(a₁+3d)；展开化简即得d²-a₁d=d(d-a₁)=0，已知d≠0，故必有d=a₁；
又S₁与(1/3)S₃的等差中项是3，故得2a₁+d=3a₁=6，a₁=d=2；
于是得通项公式为a‹n›=2+2(n-1)=2n；
(2)。b₁=S₁=a₁=2；b₂=(1/3)S₃=a₁+d=2a₁=4；故公比q=4/2=2；通项b‹n›=2ⁿ；
于是得a‹n›b‹n›=2[n×(2ⁿ)]；
故T‹n›=2[1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+5×2⁵+....+(n-1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ]..........(1)
2T‹n›=2[1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+5×2⁶+....+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹]..........(2)
(1)-(2)得：【错项相减】
-T‹n›=2[2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+......+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹]=2[2(2ⁿ-1)-n×2ⁿ⁺¹]
故T‹n›=2n×2ⁿ⁺¹-4(2ⁿ-1)=4n×2ⁿ-4×2ⁿ+4=4[(n-1)2ⁿ+1]

Answer 2

(1)s1=a1,s3/3=a2,s7/7=a4
因此 a2^2=a1*a4;a1+a2=6
解得 a1=2,d=2 因此an=a1+(n-1)d=2n
(2)q=b2/b1=a2/a1=2 因此bn=b1*q(n-1)=2*2(n-1)=2^n
所以，Tn=2*2+4*2^2+6*2^3+....+2n*2^n
2Tn=2*2^2+4*2^3+.........+2n*2^(n+1)
两式相减得 Tn=n*2^(n+2)-2*(2^n+2^(n-1)+......2^2+2)
=(n-1)*2^(n+2)+4

追问

s3/3=a2,s7/7=a4
怎么来的

追答

s3=a1+a2+a3
因为a1+a3=2a2 所以s3=3a3
s7=a1+a2+a3+a4+A5+a6+a7
因为 a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4
所以 s7=7a4

Answer 3