Question

请帮我解决这个数学问题，谢谢！

将400张卡片分给若干个同学，每人教能分到，但不能超过11张，试证明，至少有7名同学分到的卡片数相同。

Answer 1

　　解法一：
　　这题需要灵活运用抽屉原理。
　　将分得1，2，3，……，11张可片看做11个抽屉，
　　把同学人数看做元素，
　　如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。
　　而400÷66=6……4（张），
　　即每个抽屉都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。
　　而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，
　　所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。

　　解法二：
　　（反证法）
假设没有7人以上分到的卡片数相同，最大就6人
根据题意，那么1-11每个数字最多有6个人分到
那分的卡片数最多为
1*6+2*6+3*6+4*6+5*6+6*6+7*6+8*6+9*6+10*6+11*6=396张，
不符合题意，所以假设不成立，命题成立

追问

这样讲学生是不明白的，小学生理解不了，有没有更好的方法让学生一看就明白？

追答

　　进一步

　　同理：

　　问题：将40张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但不能超过11张，则至少有7名同学分到的卡片数相同。

 

　　若将分得1，2，3，……，11张卡片看做11个抽屉，
　　把同学人数看做元素，
则问题化为：

　　将若干个（同学）元素放进11个抽屉里，则某一个抽屉至少有7个元素。

证明如下：

　　如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。
　　而400÷66=6……4（张），
　　即每个抽屉都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。
　　而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，
　　所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。

 

　　问题得证。

Answer 2

这样做，400张卡片，每人最多不超过11张，说明人数最多只能400/11，即36人
现在，这样分，最多有6名同学相同，即6人分11张，6人分10张------6人分6张，就这样分一共才分6*11+6*10+----6*6=306张卡片，就这样分，还有94卡片没分完所以至少有7人分到位的卡片相同

追问

这样讲学生是不明白的，小学生理解不了，有没有更好的方法让学生一看就明白？

Answer 3

反证法，若最多6个同学卡片数相同，那么总卡片数<(1+2+...+11)*6=396,矛盾
所以至少有7名同学分到的卡片数相同

追问

反证法学生是不懂的，因为这是小学阶段第一个证明题，学生对反证陌生的很！

Answer 4

设1至11张卡片都有6个同学分到，则总共分了396张，还剩4张要分，所以至少有7个同学分到相同的卡片

追问

这样讲学生是不明白的，小学生理解不了，有没有更好的方法让学生一看就明白？

Answer 5

6 1
6 2
6 3
6 4
6 5
6 6
6 7
6 8
6 9
6 10
6 11总合等于396,小于400,4张一定要分掉,所以至少有7名同学分到的卡片数相同。

Answer 6

我来解释 400张卡片 不能超过11张 那么我们这样想 6个同学分1张 6个同学分2张 6个同学分3张 6个同学分4张 这样下去分到11张 那么总共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66张 66*6=396张 那么还有4张卡片 怎么办呢？ 你总要给同学吧 你不管给哪个同学都会造成至少7个分到相同