Question

求证:(Cn0)^2+(Cn1)^2+(Cn3)^2+......+(Cnn)^2=(2n)!/[(n!)^2]

Answer 1

首先，观察两个二项式展开
①(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+...+Cnnx^n
②(1+1/x)^n=Cn0+Cn1(1/x)+Cn2(1/x)^2+...+Cnn(1/x)^n
发现(1+x)^n*(1+1/x)^n的展开式中的常数项，就是所证等式的左边
所以(1+x)^n*(1+1/饥或粗x)^n
=[(1+x)*(1+1/x)]^n
=(x+2+1/x)^n
=(√x+1/√x)^2n
这个式子展开后的常数项为C(2n,n)=(2n)!/(n!)^2=右团神边
原题烂镇得证