Question

三角形初二数学问题

如图,在Rt三角形ABC中,AB=AC,角A=90度,点D为BC上任一点,DF垂直于AB于F,DE垂直于E,M为BC的中点,试判断三角形MEF是什么形状的三角形?并证明你的结论,
（2）当点D在BC的延长线上时,(1)中ME与MF的关系是否仍然成立

Answer 1

证明：连接AM。

      ∵△ABC是等腰直角三角形，且M为斜边BC的中点

      ∴AM⊥BC，AM＝BM，△ABM≌△CAM，∠MAC＝∠MBA＝45°

           又∵∠B=45°，DF⊥BF

          ∴△BFD是等腰直角三角形

      ∵DF⊥AB，DE⊥AC，∠BAC=90° 

          ∴四边形AFDE是矩形

      ∴BF＝FD＝AE，且∠FBD＝45°

           ∵△BFM全等于△AEM（SAS）

           ∴∠BMF＝∠AME，FM＝EM

           ∴∠FME＝∠FMA＋∠AME＝∠BMF＋∠FMA＝90°

           ∴△FME是等腰直角三角形。

 

Answer 2

解：△MEF是等腰直角三角形
证明如下：
连接AM
因为△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°
所以△ABC是等腰直角三角形，∠C＝45°
因为M是BC的中点
所以AM＝CM，AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝45°
所以∠BAM＝∠C
因为DF⊥AB，DE⊥AC，∠A＝90°
所以四边形AFDE是矩形
所以AF＝DE
因为三角形CDE是等腰直角三角形
所以CE＝DE
所以AF＝CE
所以△AFM≌△CEM（SAS）
所以EM＝EF，∠AMF＝∠CME
所以∠AMF＋∠AME＝∠CME＋∠AME
即∠FME＝∠AMC＝90°
所以△MEF是等腰直角三角形

Answer 3

(2)当D在BC的延长线上时，△EFM依然是等腰直角三角形，即ME=MF
∵△MEC全等于△AMF
∴MF=ME

Answer 4

△MEF是等腰直角三角形
证明：
连接AM
∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形，∠C＝45°
又∵M是BC的中点
∴AM＝CM，AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝45°
∴∠BAM＝∠C
∵DF⊥AB，DE⊥AC，∠A＝90°
∴四边形AFDE是矩形
∴AF＝DE
又∵三角形CDE是等腰直角三角形
∴CE＝DE AF＝CE
∴△AFM≌△CEM（SAS）
∴EM＝EF，∠AMF＝∠CME
∴∠AMF＋∠AME＝∠CME＋∠AME
∴∠FME＝∠AMC＝90°
∴△MEF是等腰直角三角形