Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²。若存在正数a，b，使得当x∈[a,b]时，f（x）的值域为[1/b,1/a],则a+b=？ 求非常详细的解答 不要抄袭 谢谢

Answer 1

x≤0时
f(x)=2x+x²
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数
所以f(-x)=-f(x)=-x²-2x=-(-x)²+2(-x)
所以当x>=0时
f(x)=-x^2+2x
函数f(x)=-x^2+2x=-(x^2-2x)=-(x^2-2x+1)+1=-(x-1)^2+1
对称轴x=1
当b>a>1时，f(x)是减函数,f(a)=1/a,f(b)=1/b
即-a^2+2a=1/a,-b^2+2b=1/b
可知a,b是方程x^2-x-1=0的两个解
所以a+b=1，不合题意舍去
当a<b<1时，f(x)是增函数，f(a)=1/b,f(b)=1/a
即-a^2+2a=1/b,-b^2+2b=1/a
b=1/(-a^2+2a)
-1/(-a^2+2a)^2+2/(-a^2+2a)=1/a
-1/[a(-a+2)^2]+2/(-a+2)=1
-(-a+2)+2a(-a+2)^2=a(-a+2)^2(-a+2)
-1+2a(-a+2)=a(-a+2)^2
-1-2a^2+4a=a(a^2-4a+4)
-1=a^3-2a^2
a^3-2a^2+1=0
a^2-a-1=0
虽然a,b仍可以看成x^2-x-1=0的两个根
所以a+b=1
但此时ab<0，所以不符合题意，仍要舍去
如果a<1<b
那么当x=1时，函数取最大值，所以f(1)=1/a
即-1+2=1/a
a=1同样不符合题意，舍去
当a=1时
f(b)=1/b
-b^2+2b=1/b
b^2-b-1=0
b=[1-根号(1+4)]/2=(1-根号5)/2或b=(1+根号5)/2
当b=1时

f(a)=1/b=1
-a^2+2a=1
a^2-2a+1=0
可以解得a=1
不符合题意，舍去

综上，只有当a=1,b=(1+根号5)/2,才能满足题目的条件
所以a+b=(3+根号5)/2

Answer 2

因为x≤0，所以令x=-x，则x＞0，f（x）为奇函数，所以有f(x)=-f(-x)求得f（x）=2x-x^2（x>0），可以看出f(x)在0-1单调递增，1-+无穷单调递减。分析a、b<1，则2a+a^2=1/b;2b+b^2=1/a;因为f（x）max=1,1/b,1/a>1，所以不成立，a、b>1,2a-a^2=1/a,2b-b^2=1/b,解2a^2-a^3=1,在a、b>1下无解。所以a<1,b>1,1/a=f(x)max=1,a=1,f(b)=2b-b^2=1/a，解得b=1+sql2，a+b=2+sql2。