Question

如图,在平面直角坐标系中

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+2x+3与y轴交于点C,与X轴交于点A、B，点A在点B的左端，点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥X轴于点Q，。连接CP，作直线OP四边形OCPQ为正方形
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)求直线OP的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点M，S△OCM=S△OCP，若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)抛物线在第一象限内有一点E，过点E作EN⊥X轴，交X轴于点N，交线段PO于点D，设ED的长为Y，点N的横坐标为X，是求出y与x的函数关系式，并求出ED的最大值

Answer 1

（1）设P（X，Y）
令x=0,代入y=ax2+2x+3得y=3，即OC=3
则X=OQ=OC=3，Y=0C=3，即P的坐标（3，3）；
抛物线的对称轴x=-2/2a=(0+3)/2，解得a=-2/3。
（2）设过原点的直线OP方程y=kx
代入P（3，3），得3=k*3，解得k=1，故y=x为所求。
（3）由（1）得抛物线方程y=（-2/3）x2+2x+3
设M（X，Y）
因S△OCM=S△OCP，三角型面积=（1/2）*底边*高，
若取△OCM与△OCP底边均为OC，由图可知只有当M在第三象限时才能符合题意，
即X的绝对值=-X=CP=3，即X=-3，代入y=（-2/3）x2+2x+3，得Y=-9
则在抛物线上存在一点M，使S△OCM=S△OCP，M的坐标（-3，-9）
（4）设ON=X，则D（X，X），E（X，（-2/3）X2+2X+3）
ED的距离=【（-2/3）x2+2x+3】-X=（-2/3）x2+x+3
即y=（-2/3）x2+x+3为所求，且x＞0，y＞0。