Question

若a＞0,b＞0且1/2a+b+1/b+1=1,则a+2b的最小值

若a＞0,b＞0且（1/2a+b）+（1/b+1）=1,则a+2b的最小值

Answer 1

设：2a＋b=m、b＋1=n，则：
m＋3n=2a＋4b＋3
且：
1/m＋1/n=1
则：
2a＋4b＋3
=m＋3n
=(m＋3n)×1
=(m＋3n)×[1/m×1/n]
=4＋[(m/n)＋(3n/m)]
因为：(m/n)＋(3n/m)≥2√3
则：
2a＋4b＋3≥4＋2√3
2a＋4b≥2√3＋1
a＋2b≥√3＋(1/2)
即：a＋2b的最小值是：√3＋(1/2)

Answer 2

令a+2b=t,则a=t-2b代入得，1/(2t-3b)+1/(b+1)=1,化简得：3b^2-(2t-1)b+1=0,该方程有大于0的实根，由Δ>=0,(2t-1)/6>0,得t≥√3＋(1/2)