Question

【高分】如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块

如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

用这个方法，角度我算的出来，F怎么算。答案是F = mg根号下(1+(sinθ)^2)

Answer 1

 

请采纳，谢谢！

Answer 2

我想用自己的思路来分析。
　　先对滑块在斜面体上匀速下滑的情况分析：（此时斜面体是静止的，此时不用水平力P）
这时有摩擦力大小　f＝μ mg * cosθ　且　f ＝mg * sinθ
　（这一步较简单，不用作更深层次说明），μ是动摩擦因数
所以，μ＝sinθ / cosθ

　　再对有推力F作用在滑块上的情况分析：
1、对整体（滑块和斜面体组成）而言，受到的外力有　总重力（M＋m）g，水平地面对整体的支持力 N总（竖直向上），推力 F （方向待定，大致是斜向上），水平推力P。
　　因滑块是沿斜面匀速向上运动，斜面体静止，所以对整体来说，合外力为0。
设F的方向与斜面的夹角为 α（与原分析图一致）
得　F* cos（θ－α）＝P　　（将各力正交分解在水平和竖直方向）
即　F＝P / cos（θ－α）＝4mg * sinθ * cosθ / cos（θ－α）
那么　F＝4mg * sinθ * cosθ / （cosα * cosθ＋sinα * sinθ） 　－－－－－方程1
2、对滑块 m 而言，受到重力 mg，斜面对它的支持力 N1，推力F，滑动摩擦力 f1（沿斜面向下）
同理，滑块是匀速运动，合力为0
得　F*cosα＝f1＋mg*sinθ 　　（平行斜面方向）
　　N1＝F*sinα＋mg*cosθ　　（垂直斜面方向）
且　f1＝μ * N1
得　F*cosα＝μ *（F*sinα＋mg*cosθ）＋mg*sinθ
即　F＝mg（sinθ＋μ * cosθ）/（cosα－μ * sinα）
将　μ＝sinθ / cosθ　代入上式，得
　F＝mg * 2 sinθ / [ cosα－（sinα * sinθ / cosθ）]
　＝2mg * sinθ * cosθ / （ cosα * cosθ－sinα * sinθ ）　－－－－－－－－－方程2

从方程1和2可看出，这两个方程只有 F、α 是未知数，必能求得 F和α　。
即　4mg * sinθ * cosθ / （cosα * cosθ＋sinα * sinθ）＝2mg * sinθ * cosθ / （ cosα * cosθ－sinα * sinθ ）
整理后，得　cosα * cosθ＝3 sinα * sinθ
tanα＝cosθ /（3 sinθ）
α＝arc tan [cosθ /（3 sinθ）]

由于　1 / ( cosα)^2＝1＋( tanα)^2 ＝1＋[ cosθ /（3 sinθ）]^2 　，
所以　cosα＝3 sinθ /｛根号[ 1＋8* (sinθ)^2 }
sinα＝根号[ 1－( cosα)^2 ]＝cosθ /｛根号[ 1＋8* (sinθ)^2 }
对于方程2 中的分母项，有
cosα * cosθ－sinα * sinθ
＝《3 sinθ /｛根号[ 1＋8* (sinθ)^2 }》* cosθ－《cosθ /｛根号[ 1＋8* (sinθ)^2 ] }》* sinθ
＝2 sinθ /｛根号[ 1＋8* (sinθ)^2 ] }
所以由方程2　得　F＝mg * cosθ * 根号[ 1＋8* (sinθ)^2 ]