Question

若关于x的方程丨x丨/(x-1)=kx^2有四个不同实根，求k的取值范围

Answer 1

解：
对于方程|x|/(x-1)=kx²显然，x≠1
x=0是它的一个根
又由于方程有四个不同的实数根
因此除x=0以外还应当有三个不同的实数根
当x≠0时，方程变为k=|x|/(x-1)/x²=1/[|x|(x-1)]
由于x≠0、k=0时方程无解
因此k≠0
于是方程k=1/[|x|(x-1)]再次变形为
|x|(x-1)=1/k
令y=|x|(x-1) 则有
① y=x(x-1) =x²-x=（x-1/2）²-1/4 (x＞0 )
② y=-x(x-1) =-x²+x=-（x-1/2）²+1/4 (x＜0)
显然① ②是两条分段连接的抛物线，
第①条在y轴的右半部分（x＞0 ），开口向上，顶点为（1/2，-1/4）
第②条在y轴的左半部分(x＜0)，开口向下，且顶点为（1/2，1/4）不在第②条抛物线上
两段的交点在（0,0）处
显然要使这两段抛物线与直线y=1/k有三个交点必须使
-1/4≤1/k＜0 即-4≤k＜0
所以使方程|x|/(x-1)=kx^2有四个不同的实数根的k取值范围是[-4，0)