Question

级数n到正无穷sin(1-√1+1/n^2)敛散性，大神求解~~~

Answer 1

是sin(1-(1+1/n^2)^0.5)吗？
因为：1-(1+1/n^2)^0.5恒小于0，因此只需判断级数sin((1+1/n^2)^0.5-1)的收敛性。衡毕
级数sin((1+1/n^2)^0.5-1)为正项级数，且塌慎：
由于，当n>1时，(1+1/n^2)^0.5-1<2^0.5-1<pi/2且为正数，团拦敬此区间sin(x)单调增，因此有：
sin((1+1/n^2)^0.5-1)<sin((1+1/n^2)-1)=sin(1/n^2)
由于，当n趋近于正无穷，lim(sin(1/n^2)/(1/n^2))=1，而级数∑(1/n^2)是收敛的，因此原级数
∑sin(1-(1+1/n^2)^0.5),n到正无穷,是收敛的，且为绝对收敛。

Answer 2

分子(1-√1+1/n^2)有理化：
|sin(1-√1+1/n^2)|=sin[(1/纤弊n^2)/(1+√(1+1/n^2))]=sin[(1/n^2)/A]. A=分母1+√(1+1/n^2)趋于2
用收敛级数1/n^2比较：山弯
lim sin[(1/n^2)/A]/(1/n^2)
=limsin{[(1/n^2)/A]/(1/n^2)/A}(1/A)=1/2
所以：原级数绝逗竖闷对收敛

Answer 3

对于任意实数x,|sin x|<=1所以上述数列一定收敛。