Question

求高手指教

Answer 1

形成子空间的其他条件自己补充，关键的地方如下：
任给x∈τ(V) ，则存在a∈V使得x=τ(a) ，有σ(x)=σ(τ(a))=τ(σ(a))∈τ(V)
所以τ(V) 为σ不变子空间

任给x∈τ^(-1) (0) ，则τ(x)=0 ，则τ(σ(x))=σ(τ(x))=σ(0)=0 所以σ(x)∈τ^(-1) (0)
所以τ^(-1) (0) 为σ不变子空间

Answer 2

首先证明Tao(V)与TaoInv(0)都是一个V的子空间，这个是平凡的；

然后再证明Tao(V)是Sigma的不变子空间：

任给x in Tao(V)，存在X in V，使得x = Tao(X)；
令S = Sigma(X), 显然S in V（因为Sigma是V上的线性变换）
==>
Sigma(x) = Sigma(Tao(X)) = Tao(Sigma(X)) = Tao(S) in Tao(V)
==>
在Sigma变换之下，Tao(V) in Sigma（Tao(V)），满足不变子空间的定义

同理证明TaoInv(V)是Sigma的不变子空间：

任给x in TaoInv(0), 均满足：Tao(x) = 0；
==>
Tao(Sigma(x)) = Sigma(Tao(x)) = Sigma(0) = 0
==>
Sigma(x) in TaoInv(0)，也满足不变子空间的定义