Question

设函数fx=e的x次方+a(x-2)，若fx大于等于0对一切x属于R恒成立，则a的取值范围是

Answer 1

主要讨论f(x)的单调性
求导
f(x)'=e^x+a
分类讨论
1. a>=0时
f(x)'恒大于0，于是f(x)单调递增，结合fx大于等于0对一切x属于R恒成立，知
limf(x)[x-->-无穷]>=0，于是a<=0
取交集得a=0

2.a<0时
令f(x)'=0得到极小点为
x0=ln(-a);
于是f(x0)=-a+a(ln(-a)-2)>=0
==> -a(3-ln(-a))>=0
==> ln(-a)<=3
==> -a<=e^3
==>a>=-e^3
取交集得-e^3=<a<0

结合1, 2得a的取值范围
-e^3=<a<=0

Answer 2

f'(x)=e的x方 a
若a=0,f(x)=e^x符合
若a>0,f'(x)>0.f(x)单增,x趋于负无穷时f(x)趋于负无穷,不合题意
若a<0,f(x)在(0,ln(-a))单减,(ln(-a),正无穷)单增,f(x)min=f(ln(-a))>=0,解得a<=-e^3
综上,a=0或a<=-e^3

Answer 3

-e^3≤a≤0