Question

大学线性代数，求解图片中，行列式，解答过程与说明（解答说明要有解题思路，解题应用了什么性质与公式等

Answer 1

Dn=
x a a ... a
-a x a ... a
-a -a x ... a
... ...
-a -a -a ... x
=
(x-a)+a a a ... a
0-a x a ... a
0-a -a x ... a
... ...
0-a -a -a ... x
= 按第1列分拆
x-a a a ... a
0 x a ... a
0 -a x ... a
... ...
0 -a -a ... x
--按第1列展开
+
a a a ... a
-a x a ... a
-a -a x ... a
... ...
-a -a -a ... x
--所有行加第1行化为上三角形式
Dn = (x-a)Dn-1 + a(x+a)^(n-1)
考虑到Dn的转置行列式, 得
Dn = (x+a)Dn-1 - a(x-a)^(n-1)
两式消去Dn-1得
2aDn = a(x+a)^n + a(x-a)^n
当a≠0时有 Dn = (1/2)[(x+a)^n + (x-a)^n]
易知当a=0时Dn=x^n, 上式仍成立.

追问

 

这个消去Dn-1的过程，我不太清楚，还请您，可以再讲的详细一些吗？很抱歉，间隔时间太久了，线性代数已经忘记了！