Question

高等数学题

求函数f(x)=x^2In(1+x)在x=0处的n阶导数f^(n)(0),(n>=3)。
做不出来...希望有详细过程，谢谢大家。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

写出In(1+x)的麦克劳林级数（是已知的公式），它的n-2次项系数即为所求。

Answer 3

设u=x^2 v=ln(1+x)
则u'=2x u''=2 u'''=u^(4)=……=0
v'=1/(1+x) v''=-1/(1+x)^2 v'''=2!/(1+x)^3 v^(4)=-3!/(1+x)^4 ,…，v^(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(1+x)^n,…。
u''(0)=2 u(0)=u'(0)=u'''(0)=……=0
v(0)=0 v'(0)=1 v^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)! (n=1,2,……）
利用莱布尼茨公式得：
f'''(0)=u'''(0)v(0)+3u''(0)v'(0)+3u'(0)v''(0)+u(0)v'''(0)=3*2*1=3!=6
f^(4)(0)=C(4,2)u''(0)v''(0)=6*2(-1)=-12
f^(5)(0)=C(5,2)u''(0)v'''(0)=10*2*(2!)=40
……
f^(n)(0)=C(n,2)u''(0)v^(n-2)(0)=n(n-1)(-1)^(n-1)(n-3)!=(-1)^(n-1)*n!/(n-2)

Answer 4

设g(x)=x^2 h(x)=ln(1+x)
g'(x)=2x g''(x)=2 g^(n)(x)=0 (n>=3)
g(0)=0 g'(0)=0 g''(0)=2 g^(n)(0)=0 (n>=3)
h'(x)=1/(1+x) h^(n)(x)=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(1+x)^n (n≥1)
h(0)=0 h'(0)=1 h^(n)(x)=[(-1)^(n-1)](n-1)! (n≥1)
根据莱布尼茨公式
f^(n)(0)=C(n,0)g(0)h^(n)(0)+C(n,1)g'(0)h^(n-1)(0)+C(n,2)g''(0)h^(n-2)(0)+0
=[n!/(n-2)!2!]*2*[(-1)^(n-3)](n-3)! = (-1)^(n-3)]n!/(n-2)!(n-3)!